Розвиток творчих здібностей учнів на уроках математики

    Коли йдеться про зміст шкільного курсу математики, то, звичайно, мають на увазі засвоєння учнями певної системи математичних знань, умінь і навичок. Але не можна зводити все математичне навчання в школі до передачі учням визначеної суми знань і навичок. Це обмежувало б роль математики в загальній освіті. Тому перед школою стоїть важливе завдання математичного розвитку учнів. 

Математичні здібності — це здатність утворювати на математичному матеріалі узагальнені, згорнуті, гнучкі й обернені асоціації та їх системи. До складових математичних здібностей слід віднести:

•           здатність до формалізації математичного матеріа­лу, відокремлення форми від змісту, абстрагування від реальних ситуацій і їх кількісних відношень та просторових форм;
•           оперування структурами відношень і зв'язків;
•           здатність до узагальнення матеріалу;
•           здатність до оперування числовою і знаковою символікою;
•           здатність до логічних міркувань, пов'язаних з потребою доводити, робити висновки;
•           здатність до скорочення процесу міркувань;
•           здатність до переходу від прямого до оберненого ходу думки;
•           гнучкість мислення неза­лежно від впливу шаблонів.

Математика сприяє виробленню особливого виду пам'яті — пам'яті, спрямованої на узагальнення, творення логічних схем, формалізованих структур, виховує здатність до просторових уявлень. Наявність математичних здібностей в одних учнів і недостатня розвинутість їх в інших вимагає від учителя постійного пошуку, шляхів формування і розвитку таких здібностей у школярів. Рівнева диференціація з урахуванням психології математичних здібностей учнів збільшує можливості роботи вчителя. Такий підхід створює умови для розвитку здібностей учнів, які мають природжені задатки до занять математикою, і забезпечує посильною роботою учнів, які не мають таких задатків. Виконуючи посильні завдання, учень отримує впевненість у своїх силах. Усі задачі я поділяю на три типи:

•           Задачі, які розв'язую для кращого засвоєння теорії;
•           Тренувальні вправи, мета яких - виробити навички;
•           Задачі, за допомогою яких розвиваю математичні здібності учнів.

Розв'язування задач - це робота дещо незвичайна, адже це розумова робота. А щоб навчитися будь-якій роботі, треба спочатку добре вивчити той матеріал, над яким доведеться працювати, ті інструменти, з допомогою яких буде виконуватись робота. Отож, для того щоб навчити учнів розв'язувати задачі, я пропоную їм розібратись в тому, що вони собою являють, як побудовані, з яких частин складаються, що потрібно знати, щоб розв'язати ту чи іншу задачу. Учні п'ятого класу вже знають, що під математичною задачею розуміють будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довести що-небудь, пов'язане з числовими величинами або геометричними фігурами. Арифметичною задачею називають вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числове значення інших величин і залежність, яка зв'язує їх як між собою, так і з шуканою величиною. (У початкових класах в основному розглядаються так звані сюжетні задачі, в яких описується кількісна сторона деяких явищ. Сюжетну задачу, для розв'язання якої треба виконати дві чи більше пов'язаних між собою арифметичних дій, називають складеною. Щоб розв'язати складену задачу, пропоную учням спочатку скласти план розв'язування. План складається на основі аналізу задачі, який проводять від числових даних або від запитання. Аналізу задачі передує ґрунтовне вивчення умови і запитання задачі. Наприклад, задача:

Велосипедист їхав 4 години із швидкістю 12 км/год. Йому залишилося проїхати на 16 км менше, ніж він проїхав. Яку відстань потрібно було проїхати велосипедисту?

Аналіз від числових даних. Відомо, що велосипедист їхав 4 години із швидкістю 12 км/год. За цими даними можна дізнатися, яку відстань проїхав велосипедист. Для цього треба швидкість помножити на час. Знаючи відстань, яку вже проїхав велосипедист, і те, що залишилося проїхати на 16 км менше, можна знайти відстань, яку залишилося проїхати. Для цього відстань, яку вже проїхав велосипедист, треба зменшити на 16 км. Знаючи, скільки кілометрів залишилося їхати, можна знайти весь шлях. Для цього треба виконати додавання знайдених відстаней.

Аналіз від запитання. У задачі треба знайти весь шлях, який має проїхати велосипедист. Ми не можемо одразу відповісти на це запитання, бо не відомо, скільки велосипедист вже проїхав і скільки йому залишилося їхати. Щоб знайти пройдений шлях, треба знати швидкість і час руху. Це в задачі відомо. Помножимо швидкість на час і дізнаємося про пройдений шлях. Відстань, яку велосипедист ще має проїхати, можна також знайти. Для цього знайдену відстань треба зменшити на 16 км. Отже, план розв'язування задачі такий:

1. Скільки кілометрів проїхав велосипедист за 4 години?

2. Скільки кілометрів велосипедисту залишилося проїхати?

3. Яку відстань мав проїхати велосипедист?

Отже, підвищення ефективності навчання математики можна досягти, продуктивно реалізуючи всі дидактичні функції математичних задач. Велику роль відіграють задачі, які учні складають самі. Складання задачі часто вимагає роздумів, які під час розв'язку готових задач не потрібні. Тому складання задач сприяє розвитку творчого мислення учнів. Щоб вивчення математики викликало в учня задоволення, треба, щоб він заглибився у суть ідеї цієї науки, відчув внутрішній зв'язок усіх ланок міркувань, які дають можливість зрозуміти і саме доведення, і його логіку. Якщо учень хоча б раз досяг ясності в розумінні суті, проник у внутрішній зв'язок понять і логічних висновків, то йому буде важко задовільнитися потім заучуванням без розуміння. І тоді він здійснитиме відкриття: процес власної думки вимагає значно менших зусиль і витрат часу, ніж вивчення напам'ять. Щоб привчити учнів самостійно мислити, викликати в них віру у власні сили і  виховати впевненість у своїх можливостях, необхідно примусити їх пройти через певні труднощі, а не подавати все в готовому вигляді. У системі розвиваючого навчання під час вивчення математики важливе місце посідає обчислювальна практика. На 5-6 класи припадає основний  обсяг роботи обчислень з раціональними числами. У наступних класах ці навички розвиваються і закріплюються, зростає питома вага наближених обчислень, використовується прикидка, оцінювання результатів обчислень. Широке використання мікрокалькуляторів не зменшує ролі обчислень без них і особливо усного виконання дій. Адже, користуючись мікрокалькуляторами, треба вміти робити прикидку очікуваного результату й округлювати його до потрібної точності, замінюючи деякі операції усним виконанням, уміти проаналізувати здобуту інформацію. Слід мати на увазі і розвиваючу функцію усних обчислень: вони активізують увагу і пам'ять учнів, спонукають їх до раціональної діяльності. Якщо в учнів середніх класів добре сформовані ці навички, це є запорукою того, що в старших класах розв'язування задач не буде викликати особливих труднощів. Уміння розв'язувати ту чи іншу задачу залежить від багатьох чинників. Але передусім необхідно навчитися розрізняти основні типи задач і уміти розв'язувати найпростіші з них. Задачі, що розв'язуються у шкільному курсі математики, можна умовно розподілити на такі типи задач:

• • задачі «на рух»;
• • задачі «на сумісну роботу»;
• • задачі «на планування»;
• • задачі «на залежність між компонентами арифметичних дій»;
• • задачі «на відсотки»;
• • задачі «на суміші»;
• • задачі «на розбавлення»;
• • задачі «з буквеними коефіцієнтами”;
• • інші види задач.

Отже, з яких етапів складається процес розв'язування задачі? Очевидно, отримавши задачу, перше, що треба зробити, - це розібратися в тому, що це за задача, яка її умова, в чому складається її вимога, тобто провести аналіз задачі. Це і складає перший етап процесу розв'язування задачі. У ряді випадків цей аналіз треба оформити, записати. Для цього використовуються різні схематичні записи задач, побудова яких складає другий етап процесу розв'язування. Аналіз задачі і побудова її схематичного запису необхідні головним чином для того, щоб знайти спосіб розв'язання даної задачі. Пошук цього способу складає третій етап розв'язування. Коли спосіб розв'язування задачі знайдений, його необхідно виконати - це буде вже четвертий етап процесу розв'язування. Після того як розв'язування виконано (письмово чи усно), необхідно впевнитись, що це розв'язування правильне і задовольняє всім вимогам задачі. Для цього проводять перевірку, що складає п'ятий етап процесу розв'язування. При розв'язуванні багатьох задач, крім перевірки, необхідно ще провести дослідження задачі, а саме:

• встановити, за яких умов задача має розв'язок і скільки різних розв'язків існує у кожному конкретному випадку;
• за якої умови задача зовсім не має розв'язку.

Все це складає шостий етап процесу розв'язування. Впевнившись у правильності розв'язування і, якщо потрібно, виконавши дослідження задачі, необхідно чітко сформулювати відповідь - це буде сьомий етап процесу розв'язування. Нарешті, в навчальних і пізнавальних цілях корисно також провести аналіз виконаного розв'язування, тобто встановити, чи нема іншого, більш раціонального способу розв'язування, чи не можна задачу узагальнити, які висновки можна зробити із цього розв'язування. Все це складає останній - восьмий етап розв'язування. Отже, весь процес розв'язування задачі можна розділити на вісім етапів:

• 1-й етап - аналіз задачі;
• 2-й етап - схематичний запис задачі;
• 3-й етап - пошук способу розв'язування задачі;
• 4-й етап - виконання розв'язування задачі;
• 5-й етап-перевірка розв'язку задачі; 
• 6-й етап - дослідження задачі;
• 7-й етап - формулювання відповіді задачі;
• 8-й етап - аналіз розв'язування задачі.

Математичні задачі, для розв'язування яких в шкільному курсі математики існують готові правила, або ці правила безпосередньо випливають з означень чи теорем, що визначають програму розв'язування цих задач у вигляді послідовності кроків, називають стандартними. При цьому передбачається, що для виконання окремих кроків розв'язування стандартних задач в курсі математики існують конкретні правила. Процес розв'язування стандартних задач має деякі особливості:

1. Аналіз задач зводиться до встановлення (розпізнавання) виду задач, до якого належить дана.

2. Пошук розв'язування полягає у складанні на підставі загального правила (формули, тотожності) або загального положення (означення, теореми) програми – послідовності кроків розв'язування задач даного виду. Звичайно, немаєнеобхідності цю програму формулювати в письмовій формі, достатньо її для себе намітити усно.

3. Саме розв'язання стандартної задачі полягає у застосуванні цієї загальної програми до умови даної задачі. Якщо деякі кроки програми розв'язування вимагають для свого виконання використання також інших програм, то стосовно них проводяться ті самі операції (розпізнавання виду задачі, складання програми розв'язування і виконання розв'язування на основі цієї програми). Звідси походить, що для того щоб легко розв'язувати стандартні задачі (а вони є основними математичними задачами, оскільки всі інші зрештою зводяться до них), треба:

1) пам'ятати всі вивчені в курсі математики загальні правила (формули, тотожності) і загальні положення (означення, теореми);

2) вміти розгортати згорнуті загальні правила, формули, тотожності, а також означення і теореми у програмі - послідовності кроків розв'язування задач відповідних видів. У визначенні стандартних задач як основну ознаку цих задач вважають наявність в курсі математики таких загальних правил чи положень, які однозначно визначають програму розв’язання цих задач і виконання кожного кроку цієї програми. Звідси зрозуміло, що нестандартні задачі - це такі задачі, для яких в курсі математики немає загальних правил і положень, що визначають точну програму їх розв’язування. Процес розв’язування будь-якої нестандартної задача складається у послідовному застосуванні двох основних операцій:

1. Зведення (шляхом перетворення або переформулювання) нестандартної задачі до іншої, їй еквівалентної, але уже стандартної задачі;

2. Розбиття нестандартної задачі на декілька стандартних підзадач.

В залежності від характеру нестан­дартної задачами використовуємо одну із цих операцій або обидві. При розв'язуванні більш складних задач ці операції доводиться застосовувати багаторазово. Відомо, що будь-який урок — це складне педагогічне явище, витвір вчителя, на якому учні демонструють свої знання, уміння та навички. Чи цікаво дітям на уроці? Чи люблять вони вчитися? На ці питання не можна відповісти напевне. Іноді діти ідуть на урок із задоволенням, іноді без нього. Як зацікавити дітей? Як привернути їх увагу до свого предмету? Звичайно, за допомогою того, що їм буде слухати найцікавіше, того, що вони будуть робити із задоволенням. Як донести матеріал до їх свідо­мості яскраво і красиво, щоб за­пам'яталось надовго і назавжди? Іноді можна почути, що математика складна, суха і нецікава наука. Людей, які люблять математику, це вражає й ображає. Математика сувора, але красива й глибока, як чиста криниця. А завдання  вчителя і полягає в тому, щоб розкривати перед учнями її емоційний бік, чуйну і вродливу стать. Як краще цього домогтися? Красивими, цікавими уроками. Уроками, які пробуджують цікавість і працьовитість, фокусують увагу і зосередженість. Отже, нестандартний урок. Він не вкладається в рамки виробленого і сформульованого дидактикою. На цьому уроці можна не дотримуватись чітких етапів навчального процесу, методів, традиційних видів роботи. Для такого уроку характерною є інформаційно-пізнавальна система навчання — оволодіння готовими знаннями, пошук нових форм викладу, розкриття внутрішньої сутності явищ через гру, змагання або нетрадиційні форми роботи з дітьми, використовувати власні дидактичні матеріали, часто саморобні і тим більше корисні для учнів. Для прикладу наведу урок у 6 кла­сі з теми «Відсотки» під назвою «Бізнес-гейм». Щоб наблизити математику до життя, щоб показати її різноманітність застосування, цей урок було проведено у вигляді ділової гри. Учнів класу було поділено на три команди, і весь урок вони працювали за груповим методом. Кожна команда сиділа за окремим великим столом. Ідея уроку полягала в тому, що учні — гості, які приїхали у місто «Відсоток», а вчитель — бізнесмен, мешканець цього міста, знайомить їх з ними і його мешканцями. Під час цієї мандрівки з учнями трапляються цікаві пригоди — вони витрачають і заробляють гроші, займаються бізнесом, а допомагають їм у цьому відсотки. Урок краще проводити в кінці теми, щоб діти були знайомі з усіма типами задач на відсотки. Цей урок вимагає гарної підготовки вчителя. Необхідно намалювати яскраві плакати з написами об'єктів продажу, картки з задачами, принести гральний кубик і кашкети з написами «Бізнес-гейм». У проведенні уроку вчителеві допомагають учні цього класу — «працівники фірми». Учень начальник фінансів — буде вести банківські рахунки команд на одній з відкидних дощок, троє менеджерів по одному біля кожного з трьох столів – для виплати коштів, зароблених учнем окремо та для того, щоб кидати гральний кубик. Під час проведення цього уроку спостерігається велика зацікавленість учнів, вони активні, збуджені, працюють із задоволенням це можна пояснити, мабуть, тим, що учні відчувають себе у ролі бізнесменів, мають змогу заробити і витратити власний капітал. Це урок – мінімодель сучасного життя, де без знань відсотків та їх застосування не обійтись. Тому ми бачимо і мотиваційний бік цього уроку. Під час підведення підсумків я відзначаю не тільки командну роботу певної групи учнів, але й індивідуальні відповіді. Досвід роботи показує, що для поліпшення розуміння, закріплення та відтворення інформації доцільно проводити такі уроки як:

•           урок-змагання;
•           урок-вікторина, урок- "круглий стіл”;
•           урок-гра та ін.

Щоб зацікавленість учнів до вивчення математики не знижувалась, доречно систематично проводити ігри з використанням інтерактивних технологій. Так у 9 класі практикую проведення уроків-змагання під час узагальнення і систематизації знань учнів з певної теми. Наприклад, урок узагальнення і систематизації знань за темою "Числові послідовності”. Клас поділено на три команди: "Трикутник”, "Квадрат”, "Коло”. Актуалізація опорних знань учнів (міні-іспит) – у формі змагання між трьома командами. Кожна з команд задає другим командам по два питання; за правильну відповідь – плюс 1 бал, за неправильну – мінус 1 бал. Математичне лото. Кожній з команд пропонується завдання, яке складається з дев’яти задач. До них додається стільки ж (квадратних) карток, на яких записані відповіді. Номер ставиться на тому боці картки, на якому записана відповідь. На зворотному боці картки написана частина висловлювання про математику. Захист творчих робіт капіталами команд. Підсумок уроку. Така організація учбової діяльності на уроці дає можливість реалізувати принципи диференціації навчання, оскільки гарантує участь кожного учня на тому чи іншому етапі уроку. Так, учні з низьким рівнем навчальних здібностей можуть забезпечити команді бали на І етапі уроку, а учні з високими здібностями – виступи із захистом творчих робіт. Другий етап уроку – "поле діяльності” для учнів з середніми навчальними здібностями. Позакласна робота з математики дуже важлива для пробудження в учнів інтересу до математики. Тому математичні вікторини, змагання, ігри, прес-конференції, вечори сприяють підвищенню математичної культури, розширюють і поглиблюють здобуті на уроках знання, показують застосування їх на практиці, розвивають мислення, математичні здібності, допомагають ввійти у світ наукових і технічних ідей. Так при проведенні прес-конференції "Гранітна опора наук” учні 7-9 класів багато дізналися про значення математики в різних галузях людської діяльності. Така форма роботи сприяє розширенню кругозору учнів, розвиткові уміння самостійно й творчо працювати з навчальною, науково-популярною літературою, формуванню в дітей інтересу до математики, а також поглибленню знань. Учням дуже подобається брати участь в іграх, правила яких максимально наближені до умов тих ігор, за якими вони мають можливість спостерігати з екранів телевізорів. Такими іграми є "Перший мільйон”, "Поле чудес”, "Слабка логіка” та інші. Щоб розвинути творчі здібності учнів, поступово та систематично залучати до самостійної пізнавальної діяльності, щоб забезпечити співпрацю між учнями та учителем, традиційного уроку недостатньо.