Формування математичних понять                      

Мета. Дати визначення поняття взагалі, математичного поняття. Показати взаємозв’язок обсягу і змісту поняття. Визначити терміни, символи, які застосовують в шкільному курсі математики. Показати значення систематизації і класифікації при викладанні математики.

План лекції

1. Види математичних понять.

2. Терміни, символи, означення.

3. Систематизація і класифікація математичних понять

4. Методика формування математичних понять

Кожна наука і кожний навчальний предмет оперує певним ко­лом властивих їм понять.

 Поняття - це форма мислення, в якій відображаються загальні істотні и відмінні (специфічні) властивості і особливості певних предметів або явищ дійсності. Термін «поняття» звичайно вживають для позначення розумового образу певного класу об’єктів, процесів об'єктивної реальності або нашої свідомості. Математичні поняття відображають у нашому мисленні просторові форми та кількісні відношення дійсності, абстрагуючись від реальних ситуацій.

Кожне поняття має свій обсяг і зміст. Обсяг поняття - це множина об'єктів, які охоплюються цим поняттям.

Зміст поняття - це множина суттєвих спеціальних властивостей (характеристична властивість), притаманних усім об'єктам, що належать до поняття. Наприклад, обсяг поняття «паралельні прямі простору» - всі можливі паралельні прямі простору, а зміст поняття - сукупність двох загальних суттєвих властивостей (лежати в одній площині і не перетинатися), кожна з яких необхідна і лише обидві разом достатні для того, щоб дві прямі простору були паралельними. Між змістом і обсягом понять існує така залежність: чим менший обсяг поняття, тим більший його зміст. Наприклад, поняття «лінійна функція» має менший обсяг, ніж поняття «функція», оскільки кожна лінійна функція є функцією, але не будь-яка функція е лінійною. Коли обсяг одного поняття становить частину обсягу другого, то перше поняття називають видовим, а друге - родовим. Поняття «функція» - родове, а «лінійна функція» - видове. Схематично співвідношення між родовим і видовим поняттями можна зобразити у вигляді схеми - діаграм Ейлера – Венна. Кожному математичному поняттю відповідає здебільшого один термін, а окремі з них мають відповідні термінам символи (Д, %, y'(х),>, <, =, ||, +, -, а", V",.). Термін  не можна ототожнювати з поняттям, яке йому відповідає, так само як не можна ототожнювати число і цифру, що його позначає.

У шкільному курсі математики вивчають три види понять:

1) первісні (неозначувані);

2) означувані;

3) поняття, які вводяться шляхом описування, на прикладах.

Означенням називають речення, в якому в мовній або символічній формі перелічуються загальні суттєві властивості, тобто розкривається зміст поняття. У математиці, зокрема, використовують різні способи означення понять. Найпоширеніший з них - означення через найближчий рід і видову ознаку Наприклад, ромб - це паралелограм, у якого всі сторони рівні. У цьому означенні поняття «паралелограм» - найближчий рід, а ознака «всі сторони рівні» - видова ознака. У геометрії часто використовуються конструктивні означення, в яких зазначається спосіб утворення поняття. Наприклад, у посіб­нику О. В. Погорєлова трикутник означається як фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що попарно з'єднують ці точки. В алгебрі є означення через перелік. Наприклад, раціональні та ірраціональні числа разом називають дійсними числами.

Означення - це твердження, які приймаються за домовленістю. Тому немає сенсу говорити, істинні вони чи хибні. Вони правильні або неправильні Останнє означає, що зміст і обсяг понят­тя збігаються або не збігаються. До означення висувається низка вимог. Найважливіші з них такі:

1. Відсутність порочного кола. Це означає, що поняття, яке означається, не повинне явно чи неявно міститись у тому понятті, через яке воно означається. Наприклад, школи намагаються сформулювати означення наближеного числа так: число, яке неточно, тобто з похибкою, виражає значення величини або деякого числа, називається наближеним. За іншим означенням, похибка - це різниця точного і наближеного чисел. Ще один приклад. Взаємно перпендикулярні прямі означаються як прямі, які утворюють прямий кут. Водночас прямий кут означається як такий, у якого сторони взаємно перпендикулярні.

2. Відсутність омоніма. Це означає, що кожний термін (сим­вол) має траплятися не більше одного разу як такий, що відповідає означуваному поняттю. У разі порушення цієї вимоги один і той самий термін (символ) позначатиме різні поняття.

3. Означення не повинно містити означуваних понять, які ще не означались.

Процес означення математичних понять - це процес зведення означуваного поняття до другого, з більш широким обсягом, дру­гого - до третього з ще ширшим обсягом і т. д. Оскільки такий процес не може бути нескінченним, виникає потреба у первісних поняттях, яким не дається означення. У шкільному курсі математики до таких понять належать по­няття: натуральне число, множина, точка, пряма, площина, відношення «належати», «лежить між», довжини відрізка, градусної міри кута. Хоч первісні поняття не означаються явно через інші поняття, проте іх зміст розкривається через систему аксіом. Наприклад, в аксіомах планіметрії розкриваються основні властивості первісних понять - точки, прямої тощо. Тому систему аксіом розглядають як неявне, непряме означення первісних понять. Систематизація і класифікація навчального матеріалу, зокрема математичних понять, допомагають учням глибше усвідомити зв'язки між поняттями, їхніми властивостями і відношеннями, чіткіше уявити структуру навчального матеріалу і математики в цілому. Усвідомлення системи математичних понять, суджень і умовиводів особливо важливе в разі дедуктивної побудови теорії, насамперед шкільного курсу геометрії.

Система (від грецьк. - ціле, складене з частин) - сукупність, об'єднання взаємопов'язаних і розташованих у певному порядку елементів (частин) якого-небудь цілісного утворення.

Систематизація - розміщення матеріалу в пев­ному порядку, певній послідовності. Наведемо приклад застосування систематизації в разі формування поняття графіка лінійного рівняння ах + Ьу = с.

Систематизацію навчального матеріалу зручно подати у формі таблиці Аналізуючи таблицю, в якій систематизовано весь навчальний матеріал, можна помітити, що графіком лінійного рівняння з двома невідомими є пряма тоді і лише тоді, коли хоча б один з коефіцієнтів а чи в не дорівнює 0; якщо а = О, Ь = 0, то графіком є порожня множина точок, а коли всі параметри одночасно дорівнюють 0, графіком є множина всіх точок координатної площини.

Класифікація (від лат. розряд, - роблю) - розподіл об’єктів за класами, залежно від їх загальних ознак. У термінах теорії множин класифікація - це розбиття множини об’єктів на підмножини, які не перетинаються.

Ознаку, за якою здійснюється поділ поняття, називають осно­вою поділу. Обсяг одного и того самого поняття можна ділити на підмножини по-різному залежно від обраної основи. Наприклад, якщо в основу класифікації трикутників покласти величину кута, то трикутники можна поділити на гострокутні, прямокутні, тупокутні, а якщо - співвідношення між сторонами, то множину трикутників можна поділити на дві підмножини - різносторонні три­кутники і рівнобедрені трикутники. Засвоєння математичних понять відбувається формуванням понять у процесі аналітико-синтетичної діяльності учнів, спрямованої на виділення суттєвих загальних властивостей певного поняття і усвідомлення несуттєвих властивостей, а також на застосування нового поняття до розв'язування задач. У структуру пізнавальної діяльності учнів щодо засвоєння математичних понять входять як загальні (аналіз, синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), так і специфічні розумові дій (дій підведення під поняття і обернена їм дія - виведення наслідків). Коли вивчаються паралельні прямі в планіметрії, то, виділяючи (аналіз) пари прямих, учні порівнюють їх і після з'ясування суттєвого спільного в парах об'єднують (синтез) пари за цими спільними суттєвими властивостями, відволікаючись від несуттєвого в них (відстань між прямими, їх розташування на площині) (абстрагування). На стадії введення терміна і символу закінчується узагальнення при формуванні поняття «паралельні прямі». Коли використовується абстрактно-дедуктивний метод навчання при формуванні нового поняття, вчитель формулює означення сам, наводить приклади об’єктів, що належать до цього поняття, виділяє суттєві спільні властивості і зазначає несуттєві. Наприклад, вводячи поняття «тотожно рівні вирази», вчитель повинен сам сформулювати означення (два вирази, відповідні значення яких рівні за будь-яких значень змінних, називають тотожно рівними) і навести приклади тотожно рівних виразів і таких, які не є ними. Суттєвою спільною властивістю тотожно рівних виразів є рівність їхніх відповідних числових значень за будь-яких однакових значень змінних. Несуттєвим є кількість змінних, що входять до виразу, форма виразів. Труднощі засвоєння понять учнями, які слабко встигають, пояснюються передусім невмінням виділяти суттєві властивості об’єктів і абстрагуватись від несуттєвих. У зв'язку з цим учні роблять неправомірні узагальнення або, іншими словами, генералізацію несуттєвих властивостей (надання їм ролі суттєвих). Суттєвими для них стають яскраві властивості, які виступають на перший план саме тоді, коли фігури розміщені на рисунку стан­дартно. Ще один приклад. Окремі учні вважають, що зовнішній кут трикутника завжди тупий, більший за внутрішній, суміжний з ним. Така ситуація складається, коли вчитель обмежується прикладами лише гострокутних трикутників. Перше первісне поняття, з яким учні стикаються ще в початковій школі, є поняття «натурально число (числа 1, 2, 3,..., що вживаються при лічбі предметів, називають­ся натуральними числами). Це твердження не є означенням. По-перше, насправді в цьому твердженні йдеться лише про введення терміна, який вживається для назви чисел, що одержуються під час лічби. По-друге, натуральні числа можна дістати і за вимірювання різних величин у випадку, коли одиниця вимірювання вміщується певну кількість разів у вимірюваній величині. Тому правильно було б сказати, що числа, які використовуються під час лічби предмета, дістали назву натуральних чисел. Взагалі, вводячи первісні поняття, вживати слово «називаються» не можна, у протилежному разі учні відповідні твердження з цим словом сприйматимуть за означення.

Ті відомості про натуральні числа, які подаються в 5 класі (порівняння натуральних чисел, існування найменшого числа і, відсутність найбільшого натурального числа, необмеженість на­турального ряду чисел, записування натуральних чисел та ін.), дають учням уявлення про зміст цього поняття. Проте в повному обсязі зміст поняття «натуральне число» розкривається системою аксіом Пеано. Інтуїтивні уявлення про первісні поняття геометрії, у тому числі про такі поняття, як точка, пряма, площина, учні також дістають у початковій школі і в курсі математики 5-6 класів. На пер­ших уроках геометрії в 7 класі розкриваються суттєві властивості понять «точка» і «пряма» через систему аксіом планіметрії. Тут учнів ознайомлюють з важливими неозначуваними відношеннями «належати» для точок і прямих, «лежить між» для трьох точок прямої. Доцільно звернути увагу учнів на те, що поняття точки, пря­мої, площини походять від реально існуючих об’єктів довкілля. Наприклад, уявлення про пряму дає натягнута нитка, дріт, уяв­лення про точку - місце дотику олівця до паперу, крейди - до дошки, уявлення про площину - поверхня озера. Проте в геометрії ці фігури розглядають, нехтуючи такими властивостями, як розміри точки, товщина прямої, площини. Пряма в геометрії не має товщини і уявляється продовженою необмежено, хоча зображується у вигляді відрізка. Під час формування первісних понять геометрії важливо, щоб учні добре засвоїли термінологію, що стосується цих понять. Наприклад: «точ­ки А і С лежать на прямій а», або, те саме, «точки А і С на­лежать прямій а»; «прямі а і Ь перетинаються в точці С», або, те саме, «точка С є точ­кою перетину прямих а і Ь». Учні повинні усвідомити, що поняття «лежить між» стосується точок прямої. Доцільно не тільки ввести це поняття і проілюструвати на рисунку, а і розв'язати кілька вправ на підведення під це поняття. Зокрема, можна запропонувати учням указати точки, які лежать між двома іншими точками. В цьому разі доцільно взята не тільки точки прямої, а і точки довільних ліній, наприклад кола, ламаної.

Якщо запропонувати учням позначити точку К, яка лежить між даними точками А і В прямої, то деякі учні можуть поставити точку К посередині відрізка АВ. Це пов'язано з тим, що так розуміють це поняття в життєвій практиці. Учням треба пояснити, що в геометрії точкою, що лежить між точками А і В, є не лише та, що лежить посередині відрізка АВ, а і будь-яка точка цього відрізка, що розташована правіше від А і лівіше від В. Дехто з учнів може назвати точку С кола такою, яка лежить між точками А і О цього кола. Учні повинні вміти обгрунтувати неправильність такої відповіді, відмежувати сформоване на життєвому досвіді поняття «лежати між» від наукового, геометричного поняття. На першому уроці стереометрії 10 класі доцільно пояснити походження і роль первісних понять. Кілька понять через означення вводяться вже означувані поняття в курсі математики 5-6 класів. Це такі по­няття,   як  розгорнутий   кут,   квадрат,   правильний дріб, неправильний дріб, середнє арифметичне, про­цент, дільник даного числа, кратне даному числу, найбільший спільний дільник, найменше спільне кратне, пропорція, паралельні прямі,  перпендикулярні   прямі  тощо.   Означаються  обернені арифметичні дії.

У систематичних курсах алгебри і геометрії переважна більшість нових понять означається. Наприклад, тотожно рівних виразів, тотожності, тотожне перетворення виразів, корінь рівняння, лінійне рівняння з одним невідомим, функція, многочлен, степінь многочлена, відрізок, промінь, коло, трикутник, паралельні прямі в просторі, многогранник тощо. Вводячи означення математичних понять, треба враховувати, наскільки відомі и зрозумілі учневі певного віку ті суттєві властивості, які     розкривають     зміст     нового поняття. Чим абстрактніше поняття, чим складніша логічна структура його означення, тим гостріша потреба в попередньому введенні поняття на інтуїтивному рівні, у поясненні властивостей, які увійдуть в означення. Це стосується насамперед та­ких понять, як границя числової послідовності, границя функції, неперервність функції, похідна. Під час підсумкового повторення в 9 класі або на перших уро­ках стереометрії, коли пояснюється логічна будова геометрії, варто звернути увагу учнів на принципову можливість різних озна­чень того самого поняття залежно від вибору суттєвих властивостей, що входять в означення. Це можна пояснити на прикладі паралелограма. Водночас не можна допускати, щоб в учнів склалося уявлення про довільність введення математичних понять взагалі та їх означень зокрема. Треба показати учням приклади обгрунтування доцільності введення саме такого, а не іншого означення певного поняття. Наприклад, під час введення поняття степеня з нульовим і від'ємним показниками доцільність озна­чень, що вводяться, спричинена потребою поширити правила дій над степенями з натуральним показником на степені з нульовим і цілим від'ємним показниками.

Тому краще прийняти таке означення степеня з нульовим показ­ником: степінь з показником «нуль» будь-якого числа, відмінного від нуля, дорівнює одиниці. Скорочено: а° = 1 при а # 0. Вираз 0° не має смислу. Так само вводиться означення степеня з цілим від'ємним по­казником. Переважна більшість математичних понять вводиться описово, на прикладах. Наприклад, у 5 класах вводяться поняття числового и буквеного виразів, відрізка, кута, трикутника, звичайного дробу, десяткового дробу, прямокутного паралелепіпеда. У 6 класах так вводяться понят­тя простого і складного чисел, кола, кругового сектора, кута, від'ємного числа, додатного числа, числової прямої, прямокутної системи координат, коефіцієнта, подібних доданків.

Наприклад, у 7 класі на уроках алгебри вводяться поняття одночлена і його стандартного вигляду на кількох прикладах. При цьому звертається увага на те, що наведені вирази є добутком чисел, змінних і їх степенів, тобто фактично розкривається суттєва властивість одночленів. Вводячи поняття «геометрична фігура» на першому уроці геометрії в 7 класах, недоцільно обмежуватися лише малюнками фігур, запропонованих у підручнику. Варто показати учням моделі різних планіметричних фігур і геометричних тіл. Серед них мають бути, наприклад, трикутники, виготовлені з дроту, і плоскі трикутники, вирізані з паперу або картону, коло, круг, паралелепіпед, куля. Варто звернути увагу на те, що обидва трикутники, коло, круг можуть розміститися в площині всіма своїми точками, а па­ралелепіпед і куля – ні. Ці перші уявлення про особливості різних геометричних фігур сприятимуть свідомому засвоєнню інших вла­стивостей під час наступного вивчення курсу геометрії. У процесі формування математичних понять учні допускаються помилок при самостійному знаходженні суттєвих властивос­тей, коли поняття формується конкретно-індуктивним методом, і  при формулюванні означень, коли їх уже введено. При цьому учні часто випускають деякі суттєві властивості або умови, невдало вибирають або взагалі пропускають родове поняття тощо. Найефективніше названі помилки виправляються за допомогою контрприкладів, які допомагають не тільки краще усвідомити суттєві властивості понять, а и міцніше запам'ятати їх. Одним з провідних принципів педагогічної психології є прин­цип єдності знань і дій. Однак існують два роди знань: знання про предмети і явища навколишнього світу (а отже, і про понят­тя), і знання про дії, які з ними потрібно виконувати. Недоліком традиційного і сучасного навчання математики є недостатня ува­га до знань другого роду. Часто учні, які добре знають означення математичних понять, не вміють застосовувати їх до доведення теорем і розв'язування задач, у тому числі и прикладного змісту. Тому дії, адекватні знанням, зокрема поняттям, мають стати не тільки засобом, а і предметом засвоєння.

3 погляду застосування понять важливу роль відіграють такі розумові дії, як «дія підведення під поняття» («дія розпізнавання») та обернена їй дія - відшукання наслідків. Остання означає, що від факту належності об'єкта до поняття приходять до систе­ми властивостей, які має цей об'єкт. Потрібна спеціальна система вправ на підведення об’єктів під поняття. Для встановлення фак­ту належності об'єкта до певного поняття треба перевірити наявність у об'єкта сукупності необхідних і достатніх властивостей. Якщо при цьому виявиться, що об'єкт не має хоча б однієї із сут­тєвих властивостей, роблять висновок, що до даного поняття він не належить. При цьому можна використовувати не тільки означення, а і теореми, що виражають властивості понять, які еквівалентні означенням у тому розумінні, що властивості понять, які стверджуються в них, можуть бути покладені в основу означень. Наприклад, для встановлення належності чотирикутника до паралелограмів можна скористатися означенням паралелограма і тео­ремою про його ознаку. Разом вони являють собою еквівалентні системи необхідних і достатніх ознак. Перелік операцій, що входять до складу дій підведення під по­няття у випадку, коли суттєві властивості пов'язані сполучником «і» або сполучником «або», можна задати у вигляді навчального алгоритму.

Література

1. Закон України "Про загальну середню освіту ”, Київ, 1999р.

2. Державна національна програма "Освіта/Україна ХХI століття/Заходи щодо реалізації Державної національної програми "Освіта/Україна ХХI століття/Затверджено постановою Кабінету Міністрів України від 03.11.93 №896//Освіта – 1993 - №44-46

3. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К.: Зодіак-ЕКО, 2000р. – 512с.

4. Слєпкань З.І. Психолого-педагогические основі обучения математике. Методическое пособие. – Київ: Рад. шк., 1983г. – 192 с.

5. Бевз Г.П. Методика викладання математики. Навчальний посібник. –Київ: Вища школа, 1989 р. – 367 с.