Аксіоми і теореми. Види теорем. Необхідні умови. Достатні умови. Необхідні умови і достатні умови

Мета. Показати необхідність застосування теорем і аксіом в шкільному курсі математики. Познайомити з видами теорем, з умовами теорем.

План лекції

1. Теореми і аксіоми.

2. Види теорем.

3. Необхідні і достатні умови.

4. Методи доведення.

Теореми

  Вивчення  теорем   і   їх  доведень   в   курсах геометрії і алгебри починається із 7 класу і посідає значне місце в навчальному  матеріалі.   Наприклад,  лише  в  курсі  геометрії 7 класу паралельні підручники містять по 18 теорем. Крім того, в них  передбачено значну кількість задач на доведення, які в традиційних підручниках геометрії, наприклад у підручнику А. П. Кисельова, відігравали роль теорем. Учні виконують доведення як складову частину розв'язування задач на побудову. Теореми і їх доведення розвивають логіку мислення учнів, просторові уявлення та уяву, вчать методам доведення, сприяють усвідомленню аксіоматичної побудови математики. Доведення дають змогу учням засвоїти евристичні прийоми розумової діяльності,  формують  позитивні  якості  особистості,   зокрема обгрунтованість суджень, стислість, чіткість висловлення думки. Які ж вимоги програми до математичної підготовки учнів, що стосуються теорем і доведення їх? На рівні обов'язкового мінімуму програма вимагає від учнів розв'язувати типові задачі на обчислення, доведення і по­будову, проводити при цьому доказові міркування, спираючись на теоретичні факти (аксіоми, теореми, означення). Для виконання цих вимог учні повинні знати формулювання аксіом і основних теорем: ознаки рівності и подібності трикутників, ознаки паралельності прямих, теорему Піфагора, ознаки паралельності і перпендикулярності прямих і площин у просторі, властивості функції, ознаки монотонності, екстремуму, теореми про похідні, властивості первісної та ін.

Чи повинні учні знати всі доведення теорем? Під час вивчення  певної теми на рівні обов'язкових результатів навчання учні по­винні знати формулювання теореми, основні етапи доведення, найважливіші обгрунтування і найпростіші застосування теоре­ми; на рівні оцінки «4»-«5» вміти доводити і застосовувати тео­рему в складніших випадках. Пам'ятати доведення вивчених теорем на кінець навчального року - вимога не обов'язкова. На усних екзаменах учні повинні знати на відповідних рівнях ті теореми, які включено до екзаменаційних білетів. Теорему не можна вважати засвоєною, якщо учні не вміють застосовувати її до розв'язування типових задач.

У реалъній шкільній практиці вчителі реалізують ці вимоги по-різному. Основними недоліками у вивченні теорем та їх доведень є формалізм у знаннях і вміннях учнів. Частина з них сумлінно виучує доведення теорем за підручником, але не може відтворити їх на зміненому положенні рисунка, з іншими буквеними позначеннями і, що найголовніше, часто не вміє застосовувати теорему в конкретних ситуаціях, посилається на теорему, замість того щоб посилатися на обернену їй, не вміє самостійно знаходити доведення теореми навітъ у найпростіших випадках. Основною причиною формалізму в навчанні теорем та їх до­ведень є те, що в підручниках доведення теорем звичайно викладено синтетичним методом, і учням залишається лише вивчити готове доведення. На уроці ж часто не організовується аналітико-синтетична діяльність учнів, спрямована на пошук доведення, учні не озброюються правилами-орієнтирами. методів доведень, прийомами розумової діяльності, що застосовуються в процесі пошуку доведень.

Аксіоми і теореми. Види теорем. Необхідні і достатні умови.

У математиці доводиться мати справу з висловленнями (або твердженнями), які доводяться (теореми, задачі на доведення), і таки­ми, що їх домовляються приймати без доведення (аксіоми). Введення аксіом, як і первісних (неозначуваних) понять, пов'язане з дедуктивним характером побудови ма­тематики. Справді, доведення будь-якого твердження Т складається з тверджень, істинністъ яких обгрунтовується раніше доведеними істинними твердженнями Т. Оскільки низка раніше доведених тверджень не може бути нескінченною, виникає потреба в аксіомах, що в перекладі з грецької мови означає «повага», «авторитет». На основі аксіом, доведених раніше тверджень і означень доводять нові твердження (теореми, задачі на доведення). Залежно від логічної структури теореми, як і будь-якого висловлення, розрізняють чотири їх види: прямі, обернені, протилежні, контрапозитивні (іншими словами, протилежні оберненим, або обер­нені протилежним щодо прямої теореми).

Запишемо пряму теорему у вигляді умовного висловлення.

 «Якщо Р, то С», (1)

де Р - умова теореми, С - висновок.   Помінявши в теоремі (1) місцями умову і висновок, дістанемо обернену щодо (1) теорему:

«Якщо С, то Р».  (2)

Замінюючи в теоремі (1) Р і С їхніми запереченнями  і , дістанемо протилежну щодо (1) теорему:

«Якщо, то».  (3)

Одночасно помінявши місцями в теоремі (1) умову і висновок  Р і С  і замінивши їх запереченнями    і , дістанемо контрапозитивну (протилежно обернену або обернену протилежній)  теорему щодо (1):       «Якщо, то» .       (4)

Теореми (1)і (4), а також теореми (2) і (3) рівносильні. Отже, якщо теорему (1) доведено, то немає потреби спеціально доводити теорему (4).

До теорем, в яких є кілька умов або висновків (складені тео­реми), можна сформулювати декілька обернених теорем. 3 них не всі можуть виявитися правильними. Розглянемо теорему: «Якщо многокутник правильний, то навколо нього можна описати коло». Обернене твердження: «Якщо навколо многокутника можна описати коло, то він - правильний» не є справедливим твердженням. У цьому легко пересвідчитися за допомогою контрприкладу. Справді, коло можна описати і навколо прямокутника, і навколо рівнобічної трапеції, які не є правильними многокутниками. Якщо з твердження «А» випливає твердження «В» і з «В» випливає «А» (символічно «А => В» і «В => А»), то твердження «А» і «В» називаються рівносильними і позначаються А <=> В. Наприк­лад, теореми «Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник - паралелограм» і «Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою пе­ретину діляться навпіл» - рівносильні твердження. Це — правильні взаємно обернені теореми. 3 відношенням слідування і рівносильності безпосередньо пов'язані три види умов, що стосуються умовних тверджень: необхідні достатні, необхідні і достатні. Умова називається необхідною, якщо без її наявності висно­вок не може виконуватися. Наприклад, у твердженні «Якщо чис­ло закінчується парною цифрою, то воно ділиться на 2» умова «Якщо число закінчується парною цифрою» є необхідною умовою, бо число не може ділитися на 2, якщо воно не закінчується парною цифрою.

Умова називається достатньою, якщо за її наявності висновок обов'язково виконується. Наприклад, у твердженні «Якщо функція зростаюча або спадна на певній множині значень аргументу, то вона має обернену функцію на цій множині» умова зростання або спадання (тобто умова монотонності) є достатньою умовою для існування оберненої функцій до даної. Проте функція може мати обернену і тоді, коли умова монотонності не виконується, але кожного свого значення функція набуває лише для одного значення аргументу.

Умова називається необхідною і достатньою, якщо без її виконання висновок не може виконуватись і в разі її виконання ви­сновок обов'язково виконується. У випадку істинності прямої і  оберненої теорем умова кожної з них є необхідною і достатньою. Наприклад, кожна з умов двох взаємно обернених теорем що­до паралелограма, наведених вище, є умовою необхідною і дос­татньою. Умови необхідні і достатні трапляються не тільки в теоремах, а і в означеннях понять. Наприклад, в означенні паралельних прямих простору є дві суттєві ознаки (лежати в одній площині і не перетинатися). Кожна з них є необхідною і лише разом вони дос­татні для того, щоб дві прямі простору були паралельні. У шкільному курсі твердження, які містять необхідну і достатню умову, формулюють по-різному. Зокрема: «Для того щоб ..., необхідно і достатньо ...». У стверджувальному реченні вживають словосполучення «тоді і тільки тоді», «ті і тільки ті» та ін. Наприклад: «Для того щоб добуток двох або кількох співмножників, які є цілими раціональними виразами, дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб принаймі один з цих співмножників дорівнював нулю»;

Література

1. Закон України "Про загальну середню освіту ”, Київ, 1999р.

2. Державна національна програма "Освіта/Україна ХХI століття/Заходи щодо реалізації Державної національної програми "Освіта/Україна ХХI століття/Затверджено постановою Кабінету Міністрів України від 03.11.93 №896//Освіта – 1993 - №44-46

3. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К.: Зодіак-ЕКО, 2000р. – 512с.

4. Слєпкань З.І. Психолого-педагогические основі обучения математике. Методическое пособие. – Київ: Рад. шк., 1983г. – 192 с.

5. Бевз Г.П. Методика викладання математики. Навчальний посібник. –Київ: Вища школа, 1989 р. – 367 с.