Історія виникнення математичного аналізу

    Ключовим поняттям математичного аналізу, початки якого вивчають в школі, є поняття функції, границі, похідної та інтеграла.

    Термін " функція " вперше запропонував у 1692 р. видатний німецький філософі математик Готфрід Вільгельм Лейбіц (1646 – 1716) для характеристики різних відрізків, що сполучають точки деякої кривої. Перше означення функції, яке вже  було пов’язане з геометричними уявленнями, сформулював Йоган Бернуллі (1667 – 1748) у 1718р.  Пізніше, у 1748. дещо уточнене означення функції дав учень Й. Бернулі  Леонард Ейлер (1707-1783). 

    Ейлеру належить символ функції  f(х).

                 В означеннях Бернуллі і Ейлера функцію ототожнювали з аналітичним виразом, яким вона здається. Ейлер  вважав також за можливе задавати одну й ту саму функцію на різних множинах різними аналітичними виразами. Ці так звані  "Кусково – задані функції" широко застосовуються на практиці.

Вже в часи Ейлера стало зрозумілим, що ототожнення  функції з її аналітичним виразом звужує саме поняття  функції, бо, по-перше,  одним і тим же виразом можна задати різні функції, по-друге, не завжди функцію можна задати аналітично. Вже Ейлер припускав можливість задавання функції лише графіком.

    Дальший розвиток математичного аналізу і практичних застосувань математики привів до розширення поняття функції. У 1834 р. видатний російський  математик М. І. Лобачевский (1792 – 1856) сформулював означення функції, в основу якого було покладено  ідею відповідності: " Загальне поняття вимагає, щоб функцією від  х  називати число, яке дається для кожного х і разом з х поступово змінюється. Значення функції може бути задане  або аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб випробування всіх чисел і вибору одного  з них; або, нарешті, залежність може існувати і залишатися невідомою ".

    Вже через три роки німецький математик Лежен Діріхле (1805 – 1859) зробив таке узагальнення поняття функції: "y є функція змінної x ( на відрізку a ≤ x ≤ b ), якщо кожному значенню x відповідає цілком повне значення y, причому не має значення, яким чином встановлена ця відповідність – аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами".

У другій половині ХІХ ст.. після  відкриття теорії множини до означення функції, крім ідеї відповідності, було залучено ідею множини, а тому сучасне означення функції формулюють так: "Відповідність між множинами x і y, при якій кожному елементу х множина Х відповідає певний елемент у множини У, називають функцією".

   У ХХ ст.. відбулося подальше розширення поняття функції, викликане потребами фізики. У 1930р. англійський фізик Поль Дірак (1902 – 1984  ввів поняття так званої « дельта – функції» , а у 1936р. російський математик і механік С. Л. Соболєв (1908 – 1990) ввів більш широке поняття узагальненої функції, яке охоплює і дельта – функцію. Отже, поняття функції продовжує розвиватися і розширюватися відповідно  до потреб розвитку математичної науки та її практичних застосувань.

    Походження поняття границі, на якому ґрунтується весь математичний аналіз і корені якого сягають глибокої давнини, пов’язане з обчисленням площ криволінійних фігур, об’ємів тіл, обмежених кривими поверхнями. Ідею границі вперше було використано стародавнім грецьким математиком  IV  ст. до н.е. Евдоксом Кнідським. Метод Евдокса, який був названий " метод вичерпування ", використовували Квклід, Архімед та інші вчені стародавнього світу.

    Перше означення границі дав у середині XVII ст. англійський математик Джон Валліс (1616 – 1703). Але тоді ще не було чіткого розуміння основних понять, пов’язаних  з теорією границь. Зокрема, термін  "нескінченно мала"  розуміли як вказівку на розмір величини, а не характер її зміни.

    Термін "границя" і відповідний символ lim вперше було  введено англійським математиком і механіком Ісааком Ньютоном (1643 – 1727).

    Строге означення границі і неперервності функції сформулював у 1823 р. Французький математик Огюстен Луї Коші (1789 – 1857). Означення неперервності функції ще раніше за Коші сформулював чеський математик Бернард Больцано (1781 – 1848). За цим означеннями  на базі теорії дійсних чисел було здійснено строге обґрунтування основних положень математичного аналізу.

    Відкриттю похідної і основ диференціального числення передували роботи французького математика і юриста П’єра Ферма (1601 – 1665), який у 1629 р. Запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень функцій, проведення дотичних до довільних кривих, що фактично спиралися на застосування похідних. Цьому сприяли  також роботи Рене Декатра  (1596 – 1650), який розробив метод координат і основи аналітичної геометрії. Лише в 1666 р. Ньютон і дещо пізніше Лейбніц незалежно  один від одного побудували теорію диференціального числення. Ньютон прийшов до поняття похідної, розв’язуючи задачі про миттєву  швидкість, а Лейбніц, - розглядаючи геометричну задачу про проведення дотичної до кривої. Ньютон і Лейбніц досліджували проблему максимумів і мінімумів функцій. Зокрема, Лейбніц сформулював теорему про достатню умову зростання і спадання функції на відрізку.

 Ейлер в  роботі «Диференціальне числення» (1755р.)  розрізняв локальний екстремум і найбільші та найменші значення функції на певному відрізку. Він перший почав використовувати грецьку букву  Δ для позначення приросту аргументу  Δ_X = X₂ – X₁ і приросту функції  Δ_Y = Y₂ – Y₁. 

   Позначення похідної  у ^' і  f ^'( х ) ввів французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736 – 1813).

                Інтегральне числення і саме поняття інтеграла виникли з потреб обчислення площ плоских фігур і об’ємів довільних тіл. Ідеї інтегрального числення беруть  свій початок у роботах стародавніх математиків. Проте це свідчить «метод  вичерпування» Евдокса, який пізніше використав Архімед у ІІІ ст. до н. е. Суть цього методу полягала в тому, що для обчислення площі плоскої фігури і, збільшуючи кількість сторін многокутника, знаходили границю, до якої прямували площі ступінчастих фігур. Проте для кожної фігури обчислення границі залежало від вибору спеціального прийому. А проблема загального методу обчислення площ і об’ємів фігур залишалась нерозв’язаною. Архімед ще явно не застосовував загальне поняття границі і інтеграла, хоча в неявному вигляді ці поняття використовувались.

                    У XVII ст.. Йоганном Кеплером (1571 – 1630), який відкрив закони руху планет, було успішно здійснено першу спробу розвинути ідеї Архімеда. Кеплер обчислював площі плоских  фігур і об’єми тіл, спираючись на ідею розкладання фігури і тіла на нескінченну кількість нескінченно малих частин. З цих частин у результаті додавання складалась фігура, площа якої відомо і яка дає змогу обчислити  площу шуканої. 

    На відміну від Кеплера, італійський математик  Бонавентуро Кавальєрі  (1598 – 1647), перетинаючи фігуру (тіло) паралельними прямими ( площинами ), вважав їх позбавленними будь – якої товщини, але додавав ці лінії.  В і сторію математики  увійшов так званий «принцип Кавальєрі», за допомогою якого обчислювали площі і об’єми. Цей принцип дістав теоретичне обґрунтування пізніше за допомогою інтегрального числення.

                Ідеї Кеплера та інших вчених стали тим ґрунтом, на якому Ньютон і Лейбніц відкрили інтегральне числення. Розвиток інтегрального числення продовжили Ейлер та П. Л. Чебишов (1821- 1894), який розробив способи інтегрування деяких класів ірраціональних функції.

                Сучасне означення інтеграла як границі інтегральних сум  належить Коші. Символ  ∫ ydx було введено Лейбіцем. Знак  ∫ нагадує розтягнуту S (першу букву латинського слова SUMMA – " сума "). Термін ” інтеграл”  походить від латинського INTEGER – " цілий "  і був запропонований у 1690 р. Й. Бернуллі.